• Theorie und Beispiele
  • Aufgaben
  • Links

Potenzen und Wurzeln

Potenzen und Wurzeln sind in Zins-, Rendite- und Wachstumsmodellen unumgänglich. In diesem Kapitel werden minimale Grundlagen eingeführt, die dem Verstehen von solchen Modellen dienen.

1. Potenzen mit natürlichen Exponenten

Wird eine reelle Zahl a n-mal mit sich selbst multipliziert, so führt man für das entstehende Produkt \(a \cdot a \cdot a \cdot … \cdot a \quad\) eine neue Schreibweise ein:

Definition

heisst Potenz mit der Basis a und dem Exponenten n.

Beispiele

\(2^3=2\cdot 2\cdot 2=8 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 0.1^4=0.1\cdot 0.1\cdot 0.1\cdot 0.1=0.0001\)

\((-3)^3=(-3)\cdot (-3)\cdot (-3)=-27 \quad \quad \quad (-3)^4=(-3)\cdot (-3)\cdot (-3)\cdot (-3)=81\)

Aus der Definition lassen sich fünf Rechengesetze herleiten:

1. Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis

$ \quad {{a}^{n}}\cdot {{a}^{m}}\,\,=\,\,{{a}^{n+m}}$

2. Potenzieren einer Potenz

$ \quad {{\left( {{a}^{n}} \right)}^{m}}\,\,=\,\,{{a}^{n\cdot m}}$

3. Potenz eines Produktes

$ \quad {{\left( a\cdot b \right)}^{n}}\,\,=\,\,{{a}^{n}}\cdot {{b}^{n}}$

4. Division von Potenzen mit gleicher Basis

$\quad $

5. Potenzieren eines Bruches

$ \quad {{\left( \frac{a}{b} \right)}^{n}}\,\,=\,\,\frac{{{a}^{n}}}{{{b}^{n}}}$

Die Gesetze müssten bewiesen werden.

Hier exemplarisch der Beweis für das 1. Gesetz:

Analog könnten die anderen Gesetze bewiesen werden.

Beispiele

${{2}^{3}}\cdot {{2}^{6}}\,\,\,\,\overset{(1)}{\mathop =}\,\,\,{{2}^{3+6}}\,\,=\,\,{{2}^{9}} \quad \quad \quad {{\left( {{a}^{4}} \right)}^{5}}\,\,\,\,\overset{(2)}{\mathop =}\,\,\,{{a}^{4\cdot 5}}\,\,=\,\,{{a}^{20}}$

${{\left( 2\cdot 3 \right)}^{4}}\,\,\,\,\overset{(3)}{\mathop =}\,\,\,{{2}^{4}}\cdot {{3}^{4}} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \frac{{{2}^{8}}}{{{2}^{3}}}\,\,\,\,\overset{(4)}{\mathop =}\,\,\,{{2}^{8-3}}\,\,=\,\,{{2}^{5}}$

$\frac{{{2}^{3}}}{{{2}^{8}}}\,\,\,\,\overset{(4)}{\mathop =}\,\,\,\frac{1}{{{2}^{8-3}}}\,\,=\,\,\frac{1}{{{2}^{5}}} \quad \quad \quad \quad \quad \frac{{{15}^{3}}}{{{5}^{3}}}\,\,\,\,\overset{(5)}{\mathop =}\,\,\,{{\left( \frac{15}{5} \right)}^{3}}\,\,=\,\,{{3}^{3}}$

2. Potenzen mit ganzen Exponenten

In der Potenzdefinition des vorangehenden Abschnittes sind nur natürliche Exponenten zugelassen; man zählt die Anzahl Faktoren. Dies hat z.B. die umständliche Fallunterscheidung im 4. Gesetz zur Folge. Deshalb soll der Potenzbegriff auch für nicht positive Exponenten definiert werden.

Das 4. Potenzgesetz gibt einen Hinweis auf eine sinnvolle Definition:

$\frac{{{2}^{3}}}{{{2}^{5}}}\,\,=\,\,\frac{1}{{{2}^{2}}} \quad \quad oder \quad \quad \frac{{{2}^{3}}}{{{2}^{5}}}\,\,=\,\,{{2}^{3-5}}\,\,=\,\,{{2}^{-2}}$

Definition

${{a}^{-n}}\,\,=\,\,\frac{1}{{{a}^{n}}}\,\,=\,\,{{\left( \frac{1}{a} \right)}^{n}} \quad \quad \quad a\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\},\,\,n\in \mathbb{N}$

Beispiele

${{10}^{-3}}\,\,=\,\,\frac{1}{{{10}^{3}}}\,\,=\,\,{{\left( \frac{1}{10} \right)}^{3}}\,\,=\,\,0.001 \quad \quad \quad {{0.25}^{-2}}\,\,=\,\,{{\left( \frac{1}{4} \right)}^{-2}}\,\,=\,\,{{\left( \frac{4}{1} \right)}^{2}}\,\,=\,\,16$

${{\left( \frac{1}{{{a}^{3}}} \right)}^{-5}}\,\,=\,\,{{\left( \frac{{{a}^{3}}}{1} \right)}^{5}}\,\,=\,\,{{a}^{15}} \quad \quad \quad {{\left( \frac{{{a}^{2}}}{{{b}^{3}}} \right)}^{-4}}\,\,=\,\,{{\left( \frac{{{b}^{3}}}{{{a}^{2}}} \right)}^{4}}\,\,=\,\,\frac{{{b}^{12}}}{{{a}^{8}}}$

Es fehlt noch die Definition für Potenzen mit dem Exponenten 0.

Definition

${{a}^{0}}\,\,=\,\,1 \quad \quad \quad a\in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$

Die 5 Potenzgesetze sind auch für Potenzen mit ganzen Zahlen gültig.

Das 4. Gesetz kann zusammengefasst werden:

$\frac{{{a}^{n}}}{{{a}^{m}}}\,\,=\,\,{{a}^{n-m}} \quad \quad \quad m,n\in \mathbb{Z}$

Beispiele

${{a}^{-m}}\cdot {{a}^{-n}}\,\,\,\,\overset{(1)}{\mathop =}\,\,\,{{a}^{-n-m}}\quad \quad \quad {{\left( {{a}^{-n}} \right)}^{m}}\,\,\,\,\overset{(2)}{\mathop =}\,\,\,{{a}^{-mn}}$

$\frac{{{a}^{-n}}}{{{a}^{-m}}}\,\,\,\,\overset{(4)}{\mathop =}\,\,\,{{a}^{-n+m}} \quad \quad \quad \frac{{{a}^{-n}}}{{{a}^{m}}}\,\,\,\,\overset{(4)}{\mathop =}\,\,\,{{a}^{-n-m}}$

3. Zinseszinsformel

Ein Kapital wird unter Zinseszins mehrere Jahre angelegt.

Bekannt: Anfangskapital \({K_0}\), Zinssatz \(i\), Laufzeit \(n\) Jahre

Gesucht: Endkapital \({K_n}\)

Wir berechnen ...

... das Kapital nach einem Jahr: ${{K}_{1}}\,\,=\,\,{{K}_{0}}+{{K}_{0}}\cdot i\,\,=\,\,{{K}_{0}}\cdot (1+i)$ wobei \((1+i)\) dem Zinsfaktor entspricht

... das Kapital nach zwei Jahren: ${{K}_{2}}\,\,=\,\,{{K}_{1}}+{{K}_{1}}\cdot i\,\,=\,\,{{K}_{1}}\cdot (1+i)\,\,=\,\,{{K}_{0}}\cdot {{(1+i)}^{2}}$

... das Kapital nach drei Jahren: ${{K}_{3}}\,\,=\,\,{{K}_{2}}+{{K}_{2}}\cdot i\,\,=\,\,{{K}_{2}}\cdot (1+i)\,\,=\,\,{{K}_{0}}\cdot {{(1+i)}^{3}}$

Allgemein nach n Jahren:

${{K}_{n}}\,\,=\,\,{{K}_{0}}\cdot {{(1+i)}^{n}}$

Beispiel

\({K_0}=2000 \quad i=0.05 \quad n= 10\)

${{K}_{10}}\,\,=\,\,2000\cdot {{1.05}^{10}}\,\,=\,\,3257.79$

4. Potenzen mit Bruchexponenten und Wurzeln

Einführungsbeispiele

$1. \quad {{K}_{0}}\,\,=\,\,1000.- \quad {{K}_{2}}\,\,=\,\,1060.90 \quad i=?$

$2. \quad {{K}_{0}}\,\,=\,\,1000.- \quad {{K}_{8}}\,\,=\,\,1368.70 \quad i=?$

In beiden Beispielen suchen wir die Zahl (1+i), die zweimal bzw. achtmal mit sich selbst multipliziert \(1.0609=({{K}_{2}}/ {{K}_{0}})\) bzw. \(1.3687=({{K}_{8}}/ {{K}_{0}})\) ergibt. Solche Zahlen heissen Wurzeln.

Wir schreiben:

Da gemäss Aufgabenstellung der Zinssatz \(i\) und nicht der Zinsfaktor \(1+i\) gesucht ist, folgt daraus:

\(i=0.03=3\% \quad \) bzw. \( \quad i=0.04=4\%\)

Definition

Die n-te Wurzel aus einer positiven Zahl a ist die positive Zahl z, deren n-te Potenz gleich a ist.

$z\,\,=\,\,\sqrt[n]{a} \quad wenn \quad {{z}^{n}}\,\,=\,\,a$

In $z\,\,=\,\,\sqrt[n]{a} \quad $ bezeichnet man a als Radikanden, n als Wurzelexponenten und z als Wurzel

Die Operation heisst Radizieren oder Wurzelziehen.

Bemerkungen

• Die Wurzeldefinition gibt nicht an, wie eine Wurzel gerechnet wird. Sie gibt nur an, welche Eigenschaft die Wurzel erfüllen muss.

• Die n-te Wurzel einer negativen Zahl ist nicht definiert.

• Bei $\sqrt[2]{a} $ wird der Wurzelexponent weggelassen, man schreibt $\sqrt{a}$.

• Das Radizieren mit dem Wurzelexponenten n ist eine Umkehroperation des Potenzierens mit dem Exponenten n: ${{\left( \sqrt[n]{a} \right)}^{n}}\,\,=\,\,a\,\,=\,\,\sqrt[n]{{{a}^{n}}}$

Beispiele

Wie können Wurzeln auf dem Taschenrechner oder in EXCEL berechnet werden?

Folgende Überlegungen helfen dabei:

Wir schreiben $\sqrt[n]{a}$ als Potenz mit vorläufig unbekanntem Exponenten:

$\sqrt[n]{a}\,\,=\,\,{{a}^{x}}$

Gemäss der 4. Bemerkung gilt:

${{\left( \sqrt[n]{a} \right)}^{n}}\,\,=\,\,{{\left( {{a}^{x}} \right)}^{n}}\,\,=\,\,{{a}^{xn}}\,\,=\,\,a\,\,={{a}^{1}}$

Also muss $x\cdot n=1$ sein und deshalb $x\,\,=\,\,\frac{1}{n}$

Deshalb gilt:

Definition
${{a}^{\tfrac{1}{n}}}\,\,=\,\,\sqrt[n]{a} \quad \,a\,>\,0,\,\,n\in \mathbb{N}$

Für das 2. Einführungsbeispiel gilt:

Aufgaben zu Kapitel 1. Potenzen mit natürlichen Exponenten

1)

$ \large \frac{{{a}^{3}}\cdot {{a}^{7}}}{{{a}^{21}}}\,\,=$

2)

${{\left( {{x}^{3}} \right)}^{4}}\cdot {{x}^{5}}\,\,=$

3)

$ \large \frac{{{\left( 2a{{b}^{3}} \right)}^{4}}}{{{\left( 3{{a}^{2}}b \right)}^{2}}}\,\,=$

4)

$ \large \frac{{{a}^{n+2}}}{{{a}^{n}}}\,\,=$

5)

$ \large \frac{{{3}^{n+2}}}{{{3}^{n+3}}}=$

Lösungen

 

Aufgaben zu Kapitel 2. Potenzen mit ganzen Exponenten

1)

$ {{2}^{-3}}\,\,=$

2)

$ {{10}^{-4}}\,\,=$

3)

${{7}^{-3}}\cdot {{7}^{2}}\,\,=$

4)

$ {{6}^{-2}}\cdot {{6}^{-1}}\,\,=$

5)

$\large \frac{{{7}^{3}}}{{{7}^{-3}}}\,\,=$

6)

$ \large \frac{{{x}^{-3}}}{{{x}^{7}}}\,\,=$

7)

$\large {{\left( \frac{2{{a}^{2}}}{{{(2b)}^{3}}} \right)}^{-3}}\,\,=$

8)

$ \large {{\left( \frac{{{x}^{-3}}}{{{y}^{2}}} \right)}^{-5}}\,\,=$

9)

$ 1.2\cdot {{10}^{-6}}=$

10)

$ 1.2\cdot {{10}^{6}}=$

Lösungen

 

Aufgaben zu Kapitel 4. Potenzen mit Bruchexponenten und Wurzeln

1)

$ \sqrt[5]{32}\,\,=$

2)

3)

Bei welchem Zinssatz verdoppelt sich das Kapital in 10 Jahren?

4)

Eine Firma weist in 5 Jahren eine Umsatzverdoppelung aus.

a)

Berechnen Sie die durchschnittliche jährliche Umsatzzunahme in %.

b)

Wie gross ist die prozentuale Zunahme pro Monat?

Lösungen

 

Potenzen:

Im folgenden Film können Sie den Stoff noch einmal wiederholen: www.youtube.com/watch?v=mcagKVkws3o

Unter der folgenden Adresse finden Sie interaktive Aufgaben: www.zum.de/dwu/hp-math.htm#Potenzen

 

Wurzeln:

Folgende Filme besprechen die Theorie über Wurzeln:

www.youtube.com/watch?v=G5enyw6KBRs

www.youtube.com/watch?v=AlASVBqocp0

Unter den folgenden Adressen finden Sie weitere Aufgaben:

www.mathematik.net/wurzeln/0-inhalt-1.htm

www.zum.de/dwu/hp-math.htm#Wurzeln Interaktive Übungen